Question

已知函数f(x)=(

x-1

x+1

)2，(x＞1)．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若不等式(1-

x

)f-1(x)＞a(a-

x

)对一切x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求原函数f（x）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式，再根据原函数的值域为反函数的定义域；
（2）将解析式代入化简，令t=

x

，t∈[

1

4

，

1

2

]，转化成关于t的一次不等式在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，建立不等式组，解之即可．

解答：解：（1）由f(x)=(

x-1

x+1

)2得x=

1+ y

1- y

，x＞1，x=

1+ y

1- y

＞1，
∴0＜y＜1
∴f-1(x)=

1+ x

1- x

(0＜x＜1)
（2）由题设有f-1(x)=

1+ x

1- x

(0＜x＜1)．
∴1+

x

＞a2-a

x

，即(1+a)

x

+1-a2＞0对任意的x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立，显然a≠-1，
令t=

x

，t∈[

1

4

，

1

2

]则g（t）=（1+a）t+1-a²＞0对任意t∈[

1

4

，

1

2

]恒成立．
∴

g( 1 4 )＞0 g( 1 2 )＞0

即

1 4 (1+a)+(1-a2)＞0 1 2 (1+a)+1-a2＞0

，解得-1＜a＜

5

4

．

点评：本题主要考查了反函数，以及函数恒成立问题，同时考查了计算能力和转化的思想，属于基础题．