Question

【题目】如图所示的四棱锥中，底面为矩形，平面，，M，N分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取中点E，连接，，利用平行四边形可证，由知，可证，故可证；

（2）根据即为直线与平面所成的角，可求出，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小即可.

（1）证明：取中点E，连接，，

因为M，N，E分别为，，的中点，

，，

所以是平行四边形，故，

因为，所以

又因为，，

，所以平面.

因为，E为中点，所以，

所以，

所以；.

（2）因为，所以为在平面内的射影，

所以即为直线与平面所成的角，

则，即，

因为，，

分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，则，，

设平面的法向量，

则，即，取，则，，即，

取平面的法向量，

所以，

由图可知，二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.