Question

【题目】已知函数，

（1）讨论的单调性；

（2）若，是函数的两个不同零点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意对函数求导，根据、、和分类讨论，找到、的解集，即可得解；

（2）由题意转化条件得有两个不等实根，通过构造函数、求导可得，设，结合函数的单调性可将原不等式转化为，通过构造函数、求导可证明，即可得证.

（1）由题意得，，

（i）当时，，令得，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增；

（i i）当时，令得，，

①当即时，当时，均有，

在上单调递增；

②当即时，

当时，；当时，；

在和上单调递增，在上单调递减；

③当即时，

当时，；当时，；

在和上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）当时，，不是的零点，

当时，由得，

令，

则，

易知，

当时，，，

在上单调递减，且当时，；

当时，，，

在上单调递增，且；

根据函数的以上性质，画出的图象，如图所示：

由图可知，，是函数的两个不同零点直线与的图象有两个交点即，

不妨设：，

要证，即要证，

由（1）知，当时，在上单调递减，

即要证，

又，即要证，即要证，

令，

则，

当时，，即，

，在上单调递增，，

，

原不等式成立.