Question

（本题满分13分）

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，点E的棱AB上移动。

（I）证明：D₁EA₁D；

（II）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）二面角的大小为.

【解析】

试题分析：（1）欲证DE⊥平面A₁E，根据线面垂直的判定定理可知只需证AE⊥DE，A₁A⊥DE，即可；

解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则 （2分）

（Ⅰ）  （4分）

（Ⅱ）设平面的法向量，

∴

由  令，

∴  （8分）

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴时，二面角的大小为.  （13分）

考点：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的求解，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

点评：解决该试题的关键是能利用向量的知识来表示空间的点，然后借助向量在几何中的运用，求证垂直和二面角的平面角的问题。