Question

设向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=

a

•（

a

+

b

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f（x）≥

3

2

成立的x的取值集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意和向量的数量积坐标运算，求出解析式并利用倍角公式以及平方关系进行化简，由正弦函数的性质和T=

2π

|ω|

，求出最大值、最小正周期；
（Ⅱ）代入解析式进行化简成关于正弦函数的不等式，再由正弦函数的性质求出不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，f（x）=

a

•（

a

+

b

）=

a

•

a

+

a

•

b

=sin²x+cos²x+sinxcosx+cos²x
=1+

1

2

sin2x+

1

2

(cos2x+1)=

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)
∴f（x）的最大值为

3

2

+

2

2

，最小正周期是

2π

2

=π．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)，
∴f(x)≥

3

2

，即

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)≥

3

2

，sin(2x+

π

4

)≥0，
∴2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π
解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
即f(x)≥

3

2

成立的x的取值集合是{x|kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z}．

点评：本题主要考查了利用正弦函数的性质来求解，需要利用向量的数量积坐标运算、倍角公式以及平方关系对解析式进行化简，利用整体思想求解有关正弦函数的不等式．