Question

已知二次函数f （x）=x²+mx+n对任意x∈R，都有f （-x）=f （2+x）成立，设向量

a

=（ sinx，2 ），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（ cos2x，1 ），

d

=（1，2），
（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求不等式f （

a

•

b

）＞f （

c

•

d

）的解集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件f （-x）=f （2+x）可知f（x）的图象关于直线x=1对称，又由于函数图象开口向上，故可求函数f （x）的单调区间；
（Ⅱ）利用函数的单调性将函数符号脱去，从而转化为解三角不等式．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）图象上的两点为A（-x，y₁）、B（2+x，y₂），
因为

(-x)+(2+x)

2

=1
f （-x）=f （2+x），所以y₁=y₂
由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴x≥1时，f（x）是增函数；x≤1时，f（x）是减函数，
∴函数的单调增区间是[1，+∞）；单调减区间是（-∞，1]．
（Ⅱ）∵

a

•

b

=（sinx，2）•（2sinx，

1

2

）=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∵f（x）在是[1，+∞）上为增函数，
∴f （

a

•

b

）＞f （

c

•

d

）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+2）
?2sin²x+1＞cos2x+2?1-cos2x+1＞cos2x+2
?cos2x＜0?2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈z
?kπ+

π

4

＜x＜kπ+

3π

4

，k∈z
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3π

4

综上所述，不等式f （

a

•

b

）＞f （

c

•

d

）的解集是：{ x|

π

4

＜x＜

3π

4

}．

点评：本题主要考查函数的对称性，利用函数的单调性，求解三角不等式，有一定的综合性．