Question

（本小题满分12分）

在数列{a_n}中，a₁=2,a₂=8，且已知函数（）在x=1时取得极值.(Ⅰ)求证:数列{a_n+1—2a_n}是等比数列,（Ⅱ）求数列的通项a_n；（Ⅲ）设，且对于恒成立，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

 

解： (Ⅰ) ∵(1)＝0

∴(a_n＋2－a_n＋1)－(3a _n＋1－4a_n)＝0

即a_n＋2－2a_n＋1＝2(a_n＋1－2a_n)    又a₂－2a₁＝4

∴数列｛a_n＋1－2a_n｝是以2为公比，以4为首项的等比数列。...............3分

∴a_n＋1－2a_n＝4×2^n－1＝2 ^n＋1

∴    且

∴数列｛｝是首项为1，公差为1的等差数列，....................5分

∴＝＋(n－1)×1＝n

∴.....................................................6分

    （Ⅱ）由，

        令S_n＝|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＝＋2()²＋3()³＋…＋n()ⁿ

 　　　　　S_n＝()²＋2()³＋…＋(n－1)()ⁿ＋n()^n＋1.......................8分

得S_n＝＋()²＋()³＋…＋()ⁿ－n()ⁿ⁺¹

＝－n()ⁿ⁺¹＝2[1－()ⁿ]－n()ⁿ⁺¹

∴ S_n＝6[1－()ⁿ]－3n()ⁿ⁺¹＜.....................10分

要使得|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m对于n∈N^＊恒成立,只须

   所以实数的取值范围是。.......................................12分

 

【解析】略