Question

已知点O是△ABC所在平面内的一点，3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

且AB：BC：CA=5：4：3，下列结论错误的是（　　）

A．点O在△ABC外

B．S_△AOB：S_△BOC：S_△COA=6：3：2

C．点O到AB，BC，CA距离的比是72：45：40

D．O，A，B，C四点共圆

Answer 1

分析：由题意可对3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

变形，可变为3(

OA

-

OC

)+2(

OB

-

OC

)=

OC

即

OC

=3

CA

+2

CB

，再由AB：BC：CA=5：4：3，不妨令AB，BC，CA长度分别为5，4，3，由勾股定理可得出此三角形是直角三角形，由这些几何特征作出如图的图形，由图对四个选项逐一判断找出错误选项，A选项由图就可判断出正确，B选项可先根据图形求出三个三角形的面积，作比验证；C选项可求出O到AB，BC，CA的距离，再求它们的比验证，D选项由图即可观察出正误

解答：解：由题意，已知点O是△ABC所在平面内的一点，
3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

可变为3(

OA

-

OC

)+2(

OB

-

OC

)=

OC

即

OC

=3

CA

+2

CB

又，不妨令AB，BC，CA长度分别为5，4，3，
由于5²=4²+3²，可知角C是直角，如图CE=9，CD=8，CF=OC=

145

由图知，A选项中点O在△ABC外正确
B选项中，S_△BOC=

1

2

×4×9=18，S_△COA=

1

2

×3×8=12，S_△AOB=S_△BOC+S_△COA+S_△CB=18+12+6=36，
故S_△AOB：S_△BOC：S_△COA=36：18：12=6：3：2，B选项中的结论正确
C选项中，由作图知点O到BC，CA距离分别是9，8，到AB的距离为

S△AOB

AB

×2=

72

5

，于是点O到AB，BC，CA距离的比是

72

5

：9：8=72：45：40，故C选项中的结论正确
D选项中O，A，B，C四点共圆不正确，因为C点在三角形AOB内．
综上知，D选项是错误的
故选D

点评：本题考查向量在几何中的应用，考查由向量的运算，得出所研究几何对象的几何特征，解题的关键是理解题意，由题设条件判断出四点O，A，B，C的相对位置，它们的几何特征，这些几何特征是解题的重点，本题的难点是处理题设中条件3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

与AB：BC：CA=5：4：3，解答本题也要注意赋值的技巧，由于本题中两个选项研究位置关系，两个选项研究的是比值关系，故采取了特值法不妨令AB，BC，CA长度分别为5，4，3，此做法大大降低了计算难度，做题时要恰当使用，本题考查了数形结合的思想，判断推理的能力，综合性较强，难度较大