【题目】已知函数.
(I)当时,求
的单调区间和极值;
(II)若对于任意,都有
成立,求k的取值范围;
(Ⅲ)若,且
,证明:
.
【答案】(I)极小值为,无极大值;(II)
;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意x>0,由此根据k≤0,k>0利用导数性质分类讨论,能求出函数f(x)的单调区间和极值.
(2)问题转化为,对于x∈[e,e2]恒成立,令
,则
,令
,由此利用导数性质能求出实数k的取值范围.
(3)设,则
,要证
,只要证
,即证
,由此利用导数性质能证明
.
试题解析:
(1),
①时,因为
,所以
,
函数的单调递增区间是
,无单调递减区间,无极值;
②当时,令
,解得
,
当时,
;当
,
.
所以函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
在区间上的极小值为
,无极大值.
(2)由题意,,
即问题转化为对于
恒成立,
即对于
恒成立,
令,则
,
令,则
,
所以在区间
上单调递增,故
,故
,
所以在区间
上单调递增,函数
.
要使对于
恒成立,只要
,
所以,即实数k的取值范围为
.
(3)证法1 因为,由(1)知,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,且
.
不妨设,则
,
要证,只要证
,即证
.
因为在区间
上单调递增,所以
,
又,即证
,
构造函数,
即,
.
,
因为,所以
,即
,
所以函数在区间
上单调递增,故
,
而,故
,
所以,即
,所以
成立.
证法2 要证成立,只要证:
.
因为,且
,所以
,
即,
,
即,
,同理
,
从而,
要证,只要证
,
令不妨设,则
,
即证,即证
,
即证对
恒成立,
设,
,
所以在
单调递增,
,得证,所以
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了增强高考与高中学习的关联度,考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变,分值不变,不分文理科,外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目,由考生根据报考高校要求和自身特长,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.
(1)某高校某专业要求选考科目物理,考生若要报考该校该专业,则有多少种选考科目的选择;
(2)甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合,各学科成绩达到二级的概率都是0.8,且三人约定如果达到二级不参加第二次考试,达不到二级参加第二次考试,如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为,求
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆C: 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,
.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)如果|AB|= ,求椭圆C的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=n(n+1),
(1)求数列{an}的通项公式an
(2)数列{bn}的通项公式bn= ,求数列{bn}的前n项和为Tn .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}满足3(n+1)an=nan+1(n∈N*),且a1=3,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)若 =
,求证:
≤
+
+…+
<1.
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【题目】设{an}为单调递增数列,首项a1=4,且满足an+12+an2+16=8(an+1+an)+2an+1an , n∈N* , 则a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=( )
A.﹣2n(2n﹣1)
B.﹣3n(n+3)
C.﹣4n(2n+1)
D.﹣6n(n+1)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知递增的等差数列{an},首项a1=2,Sn为其前n项和,且2S1 , 2S2 , 3S3成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB= b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
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