Question

3．已知抛物线y²=8x的准线与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{16}$=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为4，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．

解答 解：依题意知抛物线的准线x=-2，代入双曲线方程得
y=±$\frac{4}{a}$•$\sqrt{4{-a}^{2}}$，不妨设A（-2，$\frac{4}{a}$$\sqrt{4{-a}^{2}}$）．
∵△FAB是等腰直角三角形，∴$\frac{4}{a}$$\sqrt{4{-a}^{2}}$=p=4，求得a=$\sqrt{2}$，
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+16}}{a}$=$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$=3，
故选：A．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形，属于中档题．