Question

在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD－A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．

(1)求棱A₁A的长；

(2)若在线段BC₁上存在点P，使直线A₁P⊥C₁D，求二面角D－A₁P－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：设A1A＝h，则 　　解得：h＝4，即A1A的长为4　　4分 　　(2)方法一：过点D1作C1D的垂线交C1C于点Q，过点Q作PQ∥BC交BC1于点P 　　∵C1D⊥D1Q，C1D⊥A1D1，∴C1D⊥A1Qp∵C1D⊥PQ，∴C1D⊥平面A1PQ 　　∵A1P在平面A1PQ内，∴C1D⊥A1P　　6分 　　∴线段BC1上存在点P，使直线A1P⊥C1D　在矩形CDD1C1，∵Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD 　　∴，得：C1Q＝1　∵△C1PQ∽△C1BC，∴，得在△A1PC1中，∵∵在等腰△BA1C1中，　　8分 　　二面角D－A1P－B的大小为　　12分 　　方法二：以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(2，0，4)，B(2，2，0)，C1(0，2，4)　　6分 　　若在线段BC1上存在点P(x，2，z)(0≤x≤2，0≤z≤4)使直线A1P⊥C1D 　　 　　∵P、B、C1共线，∴　 　　由A1P⊥C1D得：(x－2，2，－2x)·(0，2，4)＝0，解得：　　8分 　　此时点P的坐标为(，2，3)， 　　平面DA1P的法向量为(2，1，－1)，平面BA1P的法向量为(2，－2，－1)　　10分 　　∴二面角D－A1P－B的大小为　　12分