【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不等式>2010的n的最小值.
【答案】(1)an=2n-1,n∈N*;(2)n的最小值为10.
【解析】试题分析:本题属于基础题.对已知条件,用代替得,两式相减可得,凑配得,由此可证得是等比数列,从而求出通项公式,这是已知数列前项和与项之间关系的一般处理方法;(2)由(1)可得,采用错位相减法可求出其前项和 ,不等式>2 010就转化为,可知n的最小值是10.
试题解析:(1)因为Sn+n=2an,所以Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N*).两式相减,得an=2an-1+1.
所以an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N*),所以数列{an+1}为等比数列.
因为Sn+n=2an,令n=1得a1=1.
a1+1=2,所以an+1=2n,所以an=2n-1.
(2)因为bn=(2n+1)an+2n+1,所以bn=(2n+1)·2n.
所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n, ①
2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1, ②
①-②,得-Tn=3×2+2(22+23+…+2n)-(2n+1)·2n+1
=6+2×-(2n+1)·2n+1
=-2+2n+2-(2n+1)·2n+1=-2-(2n-1)·2n+1.
所以Tn=2+(2n-1)·2n+1.
若>2 010,
则>2 010,即2n+1>2 010.
由于210=1 024,211=2 048,所以n+1≥11,即n≥10.
所以满足不等式>2 010的n的最小值是10.
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【题目】已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动,为了解本次考试学生的某学科成绩情况,从中抽取部分学生的分数(满分为分,得分取正整数,抽取学生的分数均在之内)作为样本(样本容量为)进行统计,按照的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在的数据)
(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从成绩在分以上(含分)的学生中随机抽取名学生参加“省级学科基础知识竞赛”,求所抽取的名学生中恰有一人得分在内的概率.
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【题目】高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图),并且每一排钉子数目都比上一排多一个,一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球,当小球从两钉之间的间隙下落时,由于碰到下一排铁钉,它将以相等的可能性向左或向右落下,接着小球再通过两铁钉的间隙,又碰到下一排铁钉.如此继续下去,在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
(Ⅰ)理论上,小球落入4号容器的概率是多少?
(Ⅱ)一数学兴趣小组取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为,求的分布列与数学期望.
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【题目】已知数列中,,且对任意正整数都成立,数列的前项和为.
(1)若,且,求;
(2)是否存在实数k,使数列是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有k的值;若不存在,请说明理由;
(3)若,求.
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【题目】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人,调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:
年龄 | |||||
支持“延迟退休”的人数 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
(1)由以上统计数据填列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
支持 | |||
不支持 | /td> | ||
总计 |
(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人
①抽到1人是45岁以下时,求抽到的另一人是45岁以上的概率.
②记抽到45岁以上的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.
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【题目】2019年月湖北潜江将举办第六届“中国湖北(潜江)龙虾节”,为了解不同年龄的人对“中国湖北(潜江)龙虾节”关注程度,某机构随机抽取了年龄在岁之间的人进行调查,经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为.
关注 | 不关注 | 合计 | |
年轻人 | |||
中老年人 | |||
合计 |
(1)根据已知条件完成上面的列联表,并判断能否有的把握认为关注“中国湖北(潜江)龙虾节”是否和年龄段有关?
(2)现已用分层抽样的办法从中老年人中选取了人进行问卷调查.若再从这人中选取人进行面对面询问,求事件“选取的人中恰有人关注“中国湖北(潜江)龙虾节””的概率.
附:参考公式,其中.
临界值表:
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