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在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点B、C的坐标为B(-2,0),C(2,0),直线AB,AC的斜率乘积为-
1
4
,设顶点A的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设曲线E与y轴负半轴的交点为D,过点D作两条互相垂直的直线l1,l2,这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M,N.设l1的斜率为k(k≠0),△DMN的面积为S,试求
S
|k|
的取值范围.
(1)设顶点A的坐标为(x,y),则kAB=
y
x+2
,kAC=
y
x-2
,…(2分)
∵kAB•kAC=-
1
4

y
x+2
y
x-2
=-
1
4

x2
4
+y2=1.
∴曲线E的方程为
x2
4
+y2=1(x≠±2).…(4分)
(2)曲线E与y轴负半轴的交点为D(0,-1).
∵l1的斜率存在,∴设l1的方程为y=kx-1,
代入
x2
4
+y2=1,得M(
8k
1+4k2
4k2-1
1+4k2
),
从而DM=
(
8k
1+4k2
)2+(
4k2-1
1+4k2
+1)2
=
8|k|
1+k2
1+4k2
,…(6分)
用-
1
k
代k得DN=
8
1+k2
4+k2

∴△DMN的面积S=
1
2
8|k|
1+k2
1+4k2
8
1+k2
4+k2

=
32(1+k2)|k|
(1+4k2)(4+k2)
.…(8分)
S
|k|
=
32(1+k2)
(1+4k2)(4+k2)

∵k≠0且k≠±
1
2
,k≠±2,令1+k2=t,
则t>1,且t≠
5
4
,t≠5,
从而
S
|k|
=
32t
(4t-3)(t+3)
=
32t
4t2+9t-9
=
32
9+4t-
9
t

∵4t-
9
t
>-5,且4t-
9
t
≠-
11
5
,4t-
9
t
91
5

∴9+4t-
9
t
>4,且9+4t-
9
t
34
5
,9+4t-
9
t
136
5

从而
S
|k|
<8,且
S
|k|
80
17
S
|k|
20
17

S
|k|
∈(0,
20
17
)∪(
20
17
80
17
)∪(
80
17
,8).…(10分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设点P在曲线y=x2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1、S2
(Ⅰ)当S1=S2时,求点P的坐标;
(Ⅱ)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线y2=8x与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1有公共焦点F,且椭圆过点D(-
2
3
).
(1)求椭圆方程;
(2)点A、B是椭圆的上下顶点,点C为右顶点,记过点A、B、C的圆为⊙M,过点D作⊙M的切线l,求直线l的方程;
(3)过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q,则直线PQ是否经过定点,若是,求出该点坐标,若不经过,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
经过点A(2,1),离心率为
2
2
.过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求
BM
BN
的取值范围;
(Ⅲ)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN,求证:kAM+kAN为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线y=k(x+2)与双曲线
x2
m
-
y2
8
=1,有如下信息:联立方程组:
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论:
(1)当A=0时,该方程恒有一解;
(2)当A≠0时,△=B2-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是(  )
A.(1,
3
]
B.[
3
,+∞)
C.(1,2]D.[2,+∞)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2,其一个顶点的坐标是(
1
3
,0)
;又直线l:y=kx+1与双曲线C相交于不同的A、B两点.
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点?若存在,求出k的值;若不存在,写出理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C经过点A(0,2),B(
1
2
3
).
(Ⅰ)求椭圆C的方程.
(Ⅱ)设P(x0,y0)为椭圆C上的动点,求x20+2y0的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知曲线C上的动点P到点(1,0)的距离与到定直线L:x=-1的距离相等,
(1)求曲线C的方程;
(2)直线m过(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线m与曲线C只有一个公共点,有两个公共点;没有公共点?

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点A(1,0),定直线l:x=-1,B为l上的一个动点,过B作直线m⊥l,连接AB,作线段AB的垂直平分线n,交直线m于点M.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点N(4,0)作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P,Q,求证OP⊥OQ(O为坐标原点).

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