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已知直线y=k(x+2)与双曲线
x2
m
-
y2
8
=1,有如下信息:联立方程组:
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论:
(1)当A=0时,该方程恒有一解;
(2)当A≠0时,△=B2-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是(  )
A.(1,
3
]
B.[
3
,+∞)
C.(1,2]D.[2,+∞)
直线y=k(x+2)恒过(-2,0),
根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点,
故需要定点(-2,0)在双曲线的左顶点或左顶点的左边,
即-
m
≥-2,求得m≤4,
要使方程为双曲线需m>0
∴m的范围是0<m≤4,
c=
m+8

∴e=
c
a
=
m+8
m
=
1+
8
m

∵0<m≤4,∴
1+
8
m
3

即e≥
3

故选:B.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上.若椭圆上的点A(1,
3
2
)
到焦点F1、F2的距离之和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标.
(2)过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N,当△OMN的面积取得最大值时,求直线MN的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线y=2x+b与曲线xy=2相交于A,B两点,若|AB|=5,则实数b的值是(  )
A.2B.-2C.±2D.4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),点P(-1,
2
2
)在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若抛物线E:y2=2px(p>0)与椭圆C相交于点M、N,当△OMN(O是坐标原点)的面积取得最大值时,求P的值.
(3)在(2)的条件下,过点F2作任意直线l与抛物线E相交于点A、B两点,则直线AF1与直线BF1的斜率之和是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

F1(-1,0),F2(1,0),动点M满足|MF1|+|MF2|=2
2

(1)求M的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=
7
7
(x-1)
与曲线C交于A、B两点,求
F1A
F1B
的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点B、C的坐标为B(-2,0),C(2,0),直线AB,AC的斜率乘积为-
1
4
,设顶点A的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设曲线E与y轴负半轴的交点为D,过点D作两条互相垂直的直线l1,l2,这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M,N.设l1的斜率为k(k≠0),△DMN的面积为S,试求
S
|k|
的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的中心在坐标原点O,左顶点A(-2,0),离心率e=
1
2
,F为右焦点,过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点(不同于点A).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当△APQ的面积S=
18
2
7
时,求直线PQ的方程;
(Ⅲ)求
OP
FP
的范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=
3
2
,A、B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB斜倾角分别为α、β,则
cos(α-β)
cos(α+β)
=______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b,b>0)和圆C2:x2+y2=b2,已知圆C2将椭圆Cl的长轴三等分,且圆C2的面积为π.椭圆Cl的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B,直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)(i)设PM的斜率为t,直线l斜率为K1,求
K1
t
的值;
(ii)求△EPM面积最大时直线l的方程.

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