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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上.若椭圆上的点A(1,
3
2
)
到焦点F1、F2的距离之和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标.
(2)过点Q(1,0)的直线与椭圆交于两点M、N,当△OMN的面积取得最大值时,求直线MN的方程.
(1)设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)
∵椭圆上的点A(1,
3
2
)
到焦点F1、F2的距离之和等于4,
2a=4
1
a2
+
3
4
b2
=1

∴a=2,b=1
∴c=
a2-b2
=
3

∴椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1
,焦点坐标为(-
3
,0)
(
3
,0)

(2)MN斜率不为0,设MN方程为x=my+1.
联立椭圆方程:
x2
4
+y2=1
可得(m2+4)y2+2my-3=0
记M、N纵坐标分别为y1、y2
S△OMN=
1
2
|OQ|×|y1-y2|=
1
2
×1×
16m2+48
m2+4
=
2
m2+3
m2+4

t=
m2+3
(t≥3)

S=
2t
t2+1
=
2
t+
1
t
(t≥
3
)
,该式在[
3
,+∞)
单调递减,
∴在t=
3
,即m=0时S取最大值
3
2

综上,直线MN的方程为x=1.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,过右焦点F且斜率为
2
的直线l交椭圆E于两点A,B,若以原点为圆心,
6
3
为半径的圆与直线l相切
(1)求焦点F的坐标;
(2)以OA,OB为邻边的平行四边形OACB中,顶点C也在椭圆E上,求椭圆E的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

附加题:已知半椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)
与半椭圆
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)
组成的曲线称为“果圆”,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,F0、F1、F2是对应的焦点.
(1)(文)若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程.
(2)(理)当|A1A2|>|B1B2|时,求
b
a
的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点为F,椭圆C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=
3
2
,C1与C2在第一象限的交点为P(
3
1
2

(1)求抛物线C1及椭圆C2的方程;
(2)已知直线l:y=kx+t(k≠0,t>0)与椭圆C2交于不同两点A、B,点M满足
AM
+
BM
=
0
,直线FM的斜率为k1,试证明k•k1
-1
4

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设点P在曲线y=x2上,从原点向A(2,4)移动,如果直线OP,曲线y=x2及直线x=2所围成的面积分别记为S1、S2
(Ⅰ)当S1=S2时,求点P的坐标;
(Ⅱ)当S1+S2有最小值时,求点P的坐标和最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知两条抛物线y1=x2+2mx+4,y2=x2+mx-m中至少有一条与x轴有公共点,则实数m的取值范围是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线y=x-2与抛物线y2=4x交于A、B两点,则|AB|的值为(  )
A.2
6
B.4
6
C.2
3
D.4
3

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线y=k(x+2)与双曲线
x2
m
-
y2
8
=1,有如下信息:联立方程组:
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分类讨论:
(1)当A=0时,该方程恒有一解;
(2)当A≠0时,△=B2-4AC≥0恒成立.在满足所提供信息的前提下,双曲线离心率的取值范围是(  )
A.(1,
3
]
B.[
3
,+∞)
C.(1,2]D.[2,+∞)

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