Question

【题目】在数列{an}中，a1=1，an+1= （n=1，2，3，…），
（1）计算a1 ， a2 ， a3 ， a4；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a1=1，an+1= ，

∴a2= = ，a3= = ，a4= =

（2）

解：由（1）可以猜想an= ．

用数学归纳法证明：

（ⅰ）当n=1时，a1= =1，所以当n=1时猜想成立．

（ⅱ）假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak= ，

当n=k+1时，ak+1= = =

所以当n=k+1时猜想也成立．

由（ⅰ）和（ⅱ）可知，猜想对任意的n∈N*都成立．

所以an=

【解析】（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；（2）利用（1）的结论，猜想an的表达式，再用数学归纳法证明．
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．