Question

20、已知函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，且f（-1）=2
（1）求f（0）的值
（2）求证：函数f（x）为奇函数；
（3）判断函数f（x）的的单调性，并求函数f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，代入恒等式即可求f（0）的值；
（2）观察发现令y=-x即可得到f（x）+f（-x）=0，将问题等到证明．
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，利用f（x+y）=f（x）+f（y），及当x＜0时，f（x）＞0，这两个条件即可证明出函数的单调性，再由单调性判断出函数在何处取到最值以及利用恒等式结合f（-1）=2求出函数的最值．

解答：解：（1）得：f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0（4分）
（2）证明：∵函数f（x）的定义域为R，令y=-x得f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴函数f（x）是奇函数．（10分）
（3）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，∵当x＜0时，f（x）＞0，∴f（x₁-x₂）＞0∴f（x₁）+f（-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）为R上的单调减函数，∴函数f（x）在[-2，1]上的最大值f_max（x）=f（-2）=f（-1）+f（-1）=2+2=4，f_min（x）=f（1）=-f（-1）=-2．（16分）

点评：本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是根据题设中的条件灵活赋值构造出奇函数成立的条件以及单调性证明中需要的条件．本题综合性较强，赋值灵活，能力性要求较高，难题，本题易因为对赋值没有经验导致本题无法下手．