Question

设关于x的方程cos2x+

3

sin2x=k+1在[0，

π

2

]内有两不同根m、n，求m+n的值及k的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：构造函数f（x）=cos2x+

3

sin2x，x∈[0，

π

2

]与g（x）=k+1，则问题转化为f（x）=2sin（2x+

π

6

）的图象与函数g（x）=k+1的图象有两个交点，利用正弦函数的单调性与最值，即可求得m+n的值及k的取值范围．

解答： 解：令f（x）=cos2x+

3

sin2x=2（

1

2

cosx+

3

2

sin2x）=2sin（2x+

π

6

），g（x）=k+1，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
要使关于x的方程cos2x+

3

sin2x=k+1在[0，

π

2

]内有两不同根m、n，就是函数f（x）=2sin（2x+

π

6

）的图象与函数g（x）=k+1的图象有两个交点，
当

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

且2x+

π

6

≠

π

2

，即0≤x＜

π

2

或

π

2

＜x≤

π

3

，1≤2sin（2x+

π

6

）＜2时，两曲线有两个交点，
又两个交点的横坐标分别为m、n，这两个交点关于f（x）=2sin（2x+

π

6

）的对称轴x=

π

6

对称，
∴m+n=

π

3

．
由1≤2sin（2x+

π

6

）＜2，知1≤k+1＜2，
解得：0≤k＜1．

点评：本题考查两角和和与差的正弦，着重考查辅助角公式的应用及正弦函数在闭区间上的单调性与最值，考查转化思想．