Question

19．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，BB₁=2，∠ABB₁=60°．
（1）证明：AB⊥B₁C；
（2）若B₁C=2，求二面角B₁-CC₁-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结B₁A，由勾股定理的逆定理，得△ABB₁为直角三角形，B₁A⊥AB，再由CA⊥AB，得AB⊥平面AB₁C，由此能证明AB⊥B₁C．
（2）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AB₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能求出二面角B₁-CC₁-A的余弦值．

解答 证明：（1）连结B₁A，在△ABB₁中，
∵$AB_1^2=A{B^2}+BB_1^2-2AB•B{B_1}•cos∠AB{B_1}=3$
∴$A{B_1}=\sqrt{3}$．
又AB=1，BB₁=2，
∴由勾股定理的逆定理，得△ABB₁为直角三角形．
∴B₁A⊥AB
∵CA⊥AB，B₁A⊥AB，CA∩B₁A=A，
∴AB⊥平面AB₁C．
∵B₁C?平面AB₁C，∴AB⊥B₁C．
解：（2）在△AB₁C中，∵${B_1}C=2，A{B_1}=\sqrt{3}$，AC=1，
则由勾股定理的逆定理，得△AB₁C为直角三角形，
∴B₁A⊥AC．
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AB₁所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
A（0，0，0），C（0，1，0），C₁（-1，1，$\sqrt{3}$），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{AC}=（0，1，0）$，$\overrightarrow{A{C_1}}=（-1，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{B_1}C}=（0，1，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{C{C_1}}=（1，0，-\sqrt{3}）$．
设平面ACC₁的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n_1}=0\\ \overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow{n_1}=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\-{x_1}+{y_1}+\sqrt{3}{z_1}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\{x_1}=\sqrt{3}{z_1}\end{array}\right.$．
令z₁=1，则平面ACC₁的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，0，1）$．
设平面B₁CC₁的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{B_1}C}•\overrightarrow{n_2}=0\\ \overrightarrow{C{C_1}}•\overrightarrow{n_2}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{y_2}-\sqrt{3}{z_2}=0\\{x_2}-\sqrt{3}{z_2}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{y_2}=\sqrt{3}{z_2}\\{x_2}=\sqrt{3}{z_2}\end{array}\right.$．
令z₂=1，则平面B₁CC₁的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$．
设二面角B₁-CC₁-A的平面角为θ，θ为锐角．
∴$cosθ=\frac{{|{n_1}•{n_2}|}}{{|{n_1}|•|{n_2}|}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．
∴二面角B₁-CC₁-A的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．