Question

已知函数f(x)=x-

a

x

(a＞0)，有下列四个命题：
①f（x）是奇函数；
②f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③方程|f（x）|=a总有四个不同的解；
④f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递增．
其中正确的是（　　）

• A、仅②④
• B、仅②③
• C、仅①③
• D、仅③④

Answer 1

分析：①当a=x=1时f（x）=0，采用举反例的方法得到答案是否正确；
②根据定义域及单调性可知值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③|f（x）|=a得到f（x）=±a即x-

a

x

=±a化简求出x即可判断；
④求出f′（x）判断其符号即可知道函数单调与否．

解答：解：①函数明显是奇函数，正确；
②函数的值域是R，错误；
③当f（x）≥0时，f（x）=a 有2个解，当f（x）＜0时，当f（x）=-a有2个解，正确；
④f（x）是间断函数，在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上也递增，但不能说在整个定义域上递增，所以④错误．
故选C．

点评：考查学生会用反例法说明一个命题错误的能力，判断函数单调性及证明的能力，判断函数奇偶性的能力，会判断根的存在性及根的个数的能力．