Question

   已知，，，其中。

   （I）若与的图像在交点（2，）处的切线互相垂直，求的值；

   （II）若是函数的一个极值点，和1是的两个零点，且∈（，求；

   （III）当时，若，是的两个极值点，当|－|>1时，求证：|－|>3－4。

Answer 1

（I），…………………………1分

        由题知，即……………………2分

       解得

（II）=，

由题知，即 解得=6，=－1……………………6分

∴=6－（－），=

∵＞0，由＞0，解得0＜＜2；由＜0，解得＞2

∴在（0,2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，

故至多有两个零点，其中∈（0,2），∈（2, +∞）…………7分

又＞=0，=6（－1）＞0，=6（－2）＜0

∴∈（3,4），故=3    ……………………9分

（III）当时，=，

=，

由题知=0在（0，+∞）上有两个不同根，，则＜0且≠－2，此时=0的两根为－，1，……………………10分

由题知|－－1|＞1，则++1＞1，+4＞0 

又∵＜0，∴＜－4,此时－＞1

则与随的变化情况如下表:

	(0,1)	1	(1, －)	－	(－,+∞）
	－	0	+	0	－
		极小值		极大值

∴|－|=_极大值－_极小值=F(－)—F(1)

=—)+—1,…………11分

设，则

,，∵＜－4，∴＞—，∴＞0，

∴在（—∞，—4）上是增函数，＜

从而在（—∞，—4）上是减函数，∴>=3－4

所以|－|>3－4。