【题目】雾霾天气是一种大气污染状态,PM2.5被认为是造成雾霾天气的“元凶”,PM2.5日均值越小,空气质量越好.国家环境标准设定的PM2.5日均值(微克/立方米)与空气质量等级对应关系如表:
PM2.5日均值 | 0﹣﹣35 | 35﹣﹣75 | 75﹣﹣115 | 115﹣﹣150 | 150﹣﹣250 | 250以上 |
空气质量等级 | 1级 | 2级 | 3级 | 4级 | 5级 | 6级 |
由某市城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两城市的空气质量指数数据,用茎叶图表示,如图所示.
(1)试根据统计数据,分别写出两城区的PM2.5日均值的中位数,并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好?
(2)考虑用频率估计概率的方法,试根据统计数据,估计甲城区某一天空气质量等级为3
(3)分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取一个,试求这两城区空气质量等级相同的概率.
【答案】
(1)
解:甲城市5天数据由小到大排列:
59,83,87,95,116,
乙城市5天数据由小到大排列:
66,68,85,88,98,
∴甲的中位数是87,乙的中位数是85,
∴乙城市的空气质量较好.
(2)
解:根据上面的统计数据,可得在这五天中甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频率为 ,
则估计甲城市某一天的空气质量等级为3级轻度污染的概率为 .
(3)
解:设事件A:从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个,这两个城市的空气质量等级相同,
由题意可知,从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个,共有25个结果,分别记为:
(59,66),(59,68),(59,85),(59,88)(59,98)
(83,66),(83,68),(83,85),(83,88)(83,98)
(87,66),(87,68),(87,85),(87,88)(87,98)
(95,66),(95,68),(95,85),(95,88)(95,98)
(116,66),(116,68),(116,85),(116,88)(116,98),
其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为2级良的为甲59,乙66,乙68;
同为3级轻度污染的为甲83,甲87,甲95; 乙85,乙88,乙98;则空气质量等级相同的为:
(59,66),(59,68),
(83,85),(83,88),(83,98),
(87,85),(87,88),(87,98),
(95,85),(95,88),(95,98),
共11个结果.
所以这两个城市空气质量等级相同的概率为
【解析】(1)由茎叶图可知甲乙两个城市5天数据由小到大排列,求出中位数,比较两个中位数的大小可得哪个城市的空气质量较好;(2)由茎叶图可知在抽取的五天中,甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频数为3,进而得到频率,进而估算出概率;(3)从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,共有25种不同情况,统计这两个城市空气质量等级相同的情况个数,代入古典概型概率计算公式可得答案
【考点精析】掌握茎叶图是解答本题的根本,需要知道茎叶图又称“枝叶图”,它的思路是将数组中的数按位数进行比较,将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干(茎),将变化大的位的数作为分枝(叶),列在主干的后面,这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少.
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【题目】若正项数列{an}满足: =an+1﹣an(a∈N*),则称此数列为“比差等数列”.
(1)请写出一个“比差等数列”的前3项的值;
(2)设数列{an}是一个“比差等数列”
(i)求证:a2≥4;
(ii)记数列{an}的前n项和为Sn , 求证:对于任意n∈N*,都有Sn> .
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【题目】已知三棱锥A﹣BCD的各个棱长都相等,E,F分别是棱AB,CD的中点,则EF与BC所成的角是( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
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【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是边长为2的正方形,M、N分别为PB、PC的中点.
(1)证明:MN∥平面PAD;
(2)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求三棱锥C﹣BDN的体积V.
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【题目】一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数: .
(I)判断这个函数的奇偶性;
(II)从中任意拿取两张卡片,若其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数.在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率.
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【题目】已知抛物线的方程为:
,过点
的一条直线与抛物线
交于
两点,若抛物线在
两点的切线交于点
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设直线的斜率存在,取为
,取直线
的斜率为
,请验证
是否为定值?若是,计算出该值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知椭圆x2+4y2=4,直线l:y=x+m
(1)若l与椭圆有一个公共点,求m的值;
(2)若l与椭圆相交于P、Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
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【题目】已知函数,
,
,且
的最小值为
.
(1)求的值;
(2)若不等式对任意
恒成立,其中
是自然对数的底数,求
的取值范围;
(3)设曲线与曲线
交于点
,且两曲线在点
处的切线分别为
,
.试判断
,
与
轴是否能围成等腰三角形?若能,确定所围成的等腰三角形的个数;若不能,请说明理由.
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