Question

(本小题满分12分)

已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（－2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0

∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．

故设双曲线C的方程为．

又双曲线C的一个焦点为，∴，．

∴双曲线C的方程为:.

（2）由得．令

∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．

因此，解得又AB中点为，∴直线l的方程为：． 令x=0，得．∵，∴，∴.

考点：本题考查双曲线的标准方程；双曲线的性质；直线与双曲线的综合应用；二次函数在某区间上的值域。

点评：研究直线与双曲线的综合问题，通常的思路是：转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与双曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题。