Question

如图，宽为a的走廊与另一宽为b的走廊垂直相连，设细杆AC的长为l，∠ACD=α
（1）试用a，b，α表示l；
（2）当b=a时，求当细杆AC能水平通过拐角时l的最大值；
（3）当l=8a时，问细杆AC能水平通过拐角，则另一走廊宽b至少是多少？

Answer 1

分析：（1）由AB=

a

cosα

，BC=

b

sinα

，可表示出l，注意角α范围；
（2）l=a(

1

cosα

+

1

sinα

)=

a(sinα+cosα)

sinαcosα

，令t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），则l=a•

t

t2-1 2

=

2at

t2-1

，t∈(1，

2

]，利用导数可求得l的最小值，从而可得答案；
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•

sinα

cosα

，α∈(0，

π

2

)，利用导数可求得b的最小值；

解答：（解：（1）AB=

a

cosα

，BC=

b

sinα

，
∴l=AB+BC=

a

cosα

+

b

sinα

，∴l=

a

cosα

+

b

sinα

，α∈(0，

π

2

)；
（2）l=a(

1

cosα

+

1

sinα

)=

a(sinα+cosα)

sinαcosα

，
令t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），
∵0＜α＜

π

2

，∴t∈(1，

2

]，sinαcosα=

t2-1

2

，
∴l=a•

t

t2-1 2

=

2at

t2-1

，t∈(1，

2

]，
而l′=

-2a(1+t2)

(t2-1)2

＜0，
∴l=

2at

t2-1

在t∈(1，

2

]上是减函数，且当t大于1且无限趋近于1时，l→+∞，∴l∈[4

2

，+∞），
∴细杆AC能水平通过拐角时l的最大值为4

2

．
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•

sinα

cosα

，α∈(0，

π

2

)，
b′=8acosα-

a

cos2α

=

a(8cos3α-1)

cos2α

=

a(2cosα-1)(4cos2α+2cosα+1)

cos2α

，
令b′=0，则cosα=

1

2

，α=

π

3

，
当0＜α＜

π

3

时，b′＜0；    当

π

3

＜α＜

π

2

时，b′＞0，
∴当α=

π

3

时，bmin=3

3

a，
∴另一走廊的宽至少为3

3

a．

点评：本题考查导数在解决实际问题中的应用，考查导数求函数的最值，考查学生对题目的理解分析能力．