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如图,宽为a的走廊与另一宽为b的走廊垂直相连,设细杆AC的长为l,∠ACD=α
(1)试用a,b,α表示l;
(2)当b=a时,求当细杆AC能水平通过拐角时l的最大值;
(3)当l=8a时,问细杆AC能水平通过拐角,则另一走廊宽b至少是多少?

【答案】分析:(1)由AB=,BC=,可表示出l,注意角α范围;
(2)l==,令t=sinα+cosα=sin(),则l==,t,利用导数可求得l的最小值,从而可得答案;
(3)由(1)可得:b=8asinα-a•,利用导数可求得b的最小值;
解答:(解:(1)AB=,BC=
∴l=AB+BC=,∴l=
(2)l==
令t=sinα+cosα=sin(),
∵0<,∴t
∴l==,t
<0,
∴l=在t上是减函数,且当t大于1且无限趋近于1时,l→+∞,∴l∈[4,+∞),
∴细杆AC能水平通过拐角时l的最大值为4
(3)由(1)可得:b=8asinα-a•
b′=8acosα-==
令b′=0,则cosα=
当0<时,b′<0;    当时,b′>0,
∴当时,
∴另一走廊的宽至少为a.
点评:本题考查导数在解决实际问题中的应用,考查导数求函数的最值,考查学生对题目的理解分析能力.
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