Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，且不等式log₂（ax²-3x+6）＞2的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n公式；
（Ⅱ）求数列{

1

an•an+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先将不等式log₂（ax²-3x+6）＞2转化为ax²-3x+2＞0，所给条件表明：ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1orx＞b}，根据不等式解集的意义及方程ax²-3x+2=0的两根为x₁=1、x₂=b．结合利用韦达定理不难得出a，b．从而得出数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n公式．
（Ⅱ）令bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)利用拆项相消法即可求得数列{

1

an•an+1

}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式log₂（ax²-3x+6）＞2可转化为ax²-3x+2＞0，
所给条件表明：ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜1orx＞b}，根据不等式解集的意义
可知：方程ax²-3x+2=0的两根为x₁=1、x₂=b．
利用韦达定理不难得出a=1，b=2．
由此知a_n=1+2（n-1）=2n-1，s_n=n²…（6分）
（Ⅱ）令bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
则Tn=b 1+b2+b3+…+bn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

 )]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)…（12分）

点评：本小题主要考查数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．