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    （2005•上海模拟）（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；
    （2）若三角形有一个内角为arccos
    7
    9
    ，周长为定值p，求面积S的最大值；
    （3）为了研究边长a、b、c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S=
    1
    2
    absinC≤
    1
    2
    ×9×8sinC=36sinC    ，要使S的值最大，则应使sinC最大，即使∠C最大，也就是使∠C所对的边c边长最大，所以，当a?9，b?8，c?4时该三角形面积最大，此时cosC=
    43
    48
    ，sinC=
    		455
    48
    ，所以，该三角形面积的最大值是
    3
    		455
    4
    ．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的解答．
    分析：（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，由勾股定理和二次函数的性质求出y的最小值，即得周长p的
    最小值．
    （2）根据周长p=x+y+
    		x2+y2-2xy•
    7
    9
    ，利用基本不等式求得 xy≤
    9
    64
    p2    ，再由S=
    1
    2
    xysin(arccos
    7
    9
    )    =
    2
    		2
    9
    xy    ，求得面积S的最大值．
    （3）不正确，由海伦公式化简可得16S2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，
    则S≤16，故当三角形的边长a、b、c 分别为 4
    		5
    ，8，4     的直角三角形时，其面积取得最大值16．
    另解：S=
    1
    2
    bcsinA≤
    1
    2
    •8•4•sin90°=16    ．
    解答：解：（1）设直角三角形两直角边长分别为x、12-x，斜边长为y，则 y=
    		x2+(12-x)2
    =
    		2(x-6)2+72
    ≥6
    		2
    ，
    ∴两直角边长都为6时，周长p的最小值为 12+6
    		2
    ．
     （2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为 arccos
    7
    9
    ，则周长p=x+y+
    		x2+y2-2xy•
    7
    9
    ，
    ∴p≥2
    		xy
    +
    		2xy-
    14
    9
    xy
    =
    8
    3
    		xy
    ，即 xy≤
    9
    64
    p2    ．
    又S=
    1
    2
    xysin(arccos
    7
    9
    )=
    2
    		2
    9
    xy≤
    		2
    32
    p2    ，∴面积S的最大值为
    		2
    32
    p2    ．
    （3）不正确．16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）2-a2][a2-（b-c）2]
    =-a4+2（b2+c2）a2-（b2-c2）2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2，
    而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16．
    其中等号成立的条件是 a2=b2+c2，b=8，c=4，则 a=4
    		5
    ．
    ∴当三角形的边长a、b、c 分别为 4
    		5
    ，8，4    的直角三角形时，其面积取得最大值16．
    （ 另解：S=
    1
    2
    bcsinA≤
    1
    2
    •8•4•sin90°=16    ）．
    点评：本题考查基本不等式，反余弦函数的定义，海伦公式的应用，三角形中的几何计算，属于难题．
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