Question

8．（1）已知圆（x+2）²+y²=1过椭圆C的一个顶点和焦点，求椭圆C标准方程．
（2）已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{8+k}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出圆与x轴的交点，可得椭圆的一个焦点和一个顶点，再由a，b，c的关系可得椭圆方程；
（2）讨论焦点在x，y轴上，求得a，b，c，e，解方程可得k的值．

解答 解：（1）圆（x+2）²+y²=1与x轴的交点为（-1，0），（-3，0），
由题意可得椭圆的一个焦点为（-1，0），一个顶点为（-3，0），
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得a=3，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）当焦点在x轴上时，
椭圆$\frac{{x}^{2}}{8+k}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a²=8+k，b²=9，
c²=k-1，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{k-1}{8+k}$=$\frac{1}{4}$，
解得k=4；
当焦点在y轴上时，
椭圆$\frac{{x}^{2}}{8+k}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的b²=8+k，a²=9，
c²=1-k，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1-k}{9}$=$\frac{1}{4}$，
解得k=-$\frac{5}{4}$．
综上可得k=4或-$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的运用，同时考查圆的方程的运用，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．