Question

一条斜率为1的直线?与离心率为

3

的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于P、Q两点，直线?与y轴交于点R，且

OP

•

OQ

=-3，

PQ

=4

RQ

，求直线与双曲线方程．

Answer 1

∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

3

，b²=2a²，
∴双曲线方程即：

x2

a2

-

y2

2a2

=1，设直线?方程：y=x+k，点R（0，k）
代入双曲线方程得：x²-2kx-k²-2a²=0，设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2k，则x₁•x₂=-k²-2a²，
∵

OP

•

OQ

=-3，∴（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁•x₂+（x₁+k）（x₂+k）=2x₁•x₂+k（x₁+x₂）+k²
=2（-k²-2a²）+k•2k+k²=k²-4a²=-3      ①，
∵

PQ

=4

RQ

，
∴（x₂-x₁，x₂-x₁）=4（x₂-0，x₂+k-k），∴x₁=-3x₂②
把②代入根与系数的关系得：x₁=3k，x₂=-k，k²=a²，
再由①得：a=1，k=±1，
∴直线?的方程为x-y-1=0 或x-y+1=0，
双曲线的方程：x²-

y2

2

=1．