Question

已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2．一条斜率为1的直线经过双曲线的右焦点与双曲线相交于A、B两点，以AB为直径的圆与双曲线的右准线相交于M、N．
（1）若双曲线的离心率2，求圆的半径；
（2）设AB中点为H，若

HM

•

HN

=-

16

3

，求双曲线方程．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线方程，将直线方程代入，求出半径即可．
（2）设出双曲线方程，直线方程代入化简为一元二次方程，并根据韦达定理化简，最后求出c

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
由题知：a=1，

c

a

=2，∴c=2，∴b2=c2-a2=3
∴双曲线方程为x2-

y2

3

=1右焦点F（2，0）
故直线l的方程为y=x-2代入x2-

y2

3

=1中得：2x²+4x-7=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1-x2=-2，x1•x2=-

7

2

∴|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=6
∴半径r=3

（2）设双曲线方程为x2-

y2

c2-1

=1，将y=x-c代入并整理得（c²-2）x²+2cx-2c²+1=0，
由韦达定理：x1+x2=

2c

2-c2

，x1x2=

1-2c2

2-c2

设H(x0，y0)，则x0=

1

2

(x1+x2)=

c

2-c2

?y0=x0-c=

c3-c

2-c2

设圆半径为R且

HM

与

HN

的夹角为θ，
则R2cosθ=-

16

3

R=

1

2

|AB|=

2

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2|

c2-1

c2-2

|
∴cos

θ

2

=

x0- 1 c

R

=

1

c

∴cosθ=2cos2

θ

2

-1=

2-c2

c

代入R2cosθ=-

16

3

中
得：c²=3，
∴所求的双曲线方程为x2-

y2

2

=1．

点评：本题考查圆锥曲线综合运用，以及双曲线的标准方程，平面向量的数量级运算，通过对多种知识的综合理解，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．