Question

已知函数，y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
（Ⅰ）求f（x） 的解析式；
（Ⅱ）求f（x）对称轴方程和单调递增区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵的最大值为2，且函数图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，
∴函数的最小正周期T=π，可得，
∴函数的解析式为：…（4分）
（Ⅱ）令，k∈Z，得．
∴f（x）的对称轴方程：…（6分）
由，解得，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）…（8分）
（Ⅲ）∵，
∴，可得-≤sin（2x+）≤1…（10分）
当2x+=-时，即时，f（x）有最小值为-；
当2x+=时，即时，f（x）有最大值为2．
分析：（I）根据函数的最大值为2和三角函数的周期公式，算出ω=2，从而求出f（x） 的解析式；
（II）由（I）所得的函数表达式，结合三角函数单调区间和对称轴方程的结论，即得函数的对称轴方程和单调增区间；
（III）当x∈时，可得2x+∈[-，]，结合三角函数的图象与性质即可得到函数的最大值和最小值．
点评：本题给出三角函数式满足的条件，求函数f（x）的单调区间和闭区间上的最值，着重考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识、复合三角函数的单调性等知识，属于中档题．