Question

(湖南长郡中学模拟)如下图，四棱锥P—ABCD的底面为菱形且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，，E为PC的中点．

(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小；

(2)在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD成立．请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如图，连AC、BD，则由PA⊥底面ABCD，得平面PAC⊥底面ABCD于AC，又由底面ABCD为菱形可得BD⊥AC于O，∴DO⊥平面PAC． 连OE，则OE为DE在平面PAC的射影， ∴∠DEO即为DE与平面PAC所成的角． 由E为PC的中点可得． 又由菱形的性质可得，Rt△AOD中，∠ADO=60°，AD=1，∴． ∴在Rt△DEO中，， ∴∠DEO=30°．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分) (2)设AC∩BD=O，过O作OM⊥PC于M，则由PA⊥底面ABCD，可得平面PAC⊥底面ABCD于AC．又BD⊥PC，BD底面ABCD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，而由OM平面PAC且OM⊥PC，可得PC⊥平面MBD．故在线段PC上存在一点M，使PC⊥平面MBD成立． (12分)