Question

1．求下列动圆的圆心M的轨迹方程．
（1）与⊙C₁：x²+（y-1）²=1与⊙C₂：x²+（y+1）²=1都外切；
（2）与C₁：（x+3）²+y²=9外切，与⊙C₂：（x-3）²+y²=1内切．

Answer 1

分析 （1）两定圆的圆心分别是C₁（0，1），C₂，（0，-1），半径分别为1，1，则动圆圆心M的轨迹方程可求．
（2）设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC₁|=r+3，|MC₂|=r-1，可得|MC₁|-|MC₂|=r+3-r+1=4＜|C₁C₂|=6，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．

解答 解：（1）两定圆的圆心分别是C₁（0，1），C₂，（0，-1），半径分别为1，1．
∵所求圆与两个圆都外切，
∴点M的轨迹为x轴，方程为y=0（x≠0）；
（2）设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC₁|=r+3，|MC₂|=r-1，
∴|MC₁|-|MC₂|=r+3-r+1=4＜|C₁C₂|=6，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C₁、C₂为焦点的双曲线的右支，且2a=4，a=2，
双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x≥2）．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，训练了利用定义求双曲线的方程，是中档题．