Question

一个正三角形的三个顶点都在双曲线x²-ay²=1的右支上，其中一个顶点与双曲线右顶点重合，则实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据双曲线方程求得A点坐标，设处B和c的坐标，进而分别表示出AB和BC，令二者相等得到关于c与a的方程，判断出判别式大于或等于0，求得a的范围，最后根据a＞0，进而求得答案．
解答：解：依题意可知A（1，0）
又因为三角形ABC是正三角形，所以AB=BC
假设B（c，），C（c，-）
AB=，BC=2×
得到关于c与a的方程，（1+）c²-2c+1-=0．
因为正三角形ABC存在，所以方程有解．
△=4-4（1+）（1-）≥0恒成立
又因为B，C两点在双曲线的右支，
所以0，＞0．
得到a＞3或a＜-3
∵a＞0
综上，a＞3．
故答案为a＞3
点评：本题主要考查了双曲线的应用．涉及了不等式，函数等问题．综合性强．