Question

11．已知点P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左右焦点，且|F₁F₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，I为△PF₁F₂的内心，若λS${\;}_{△IP{F}_{1}}$=λS${\;}_{△IP{F}_{2}}$+S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$成立，则λ的值为$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），F₂（c，0），三角形PF₁F₂的内切圆的半径为r，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式可得e=1+$\sqrt{2}$，运用双曲线的定义和三角形的面积公式，化简整理可得λ=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{e}$，即可得到所求值．

解答 解：设F₁（-c，0），F₂（c，0），三角形PF₁F₂的内切圆的半径为r，
由$|{F_1}{F_2}|=\frac{b^2}{a}$，即为2ac=b²=c²-a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$（1-$\sqrt{2}$舍去），
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由${S_{△IP{F_1}}}={S_{△IP{F_2}}}+λ{S_{△I{F_1}{F_2}}}$，可得
$\frac{1}{2}$r|PF₁|=$\frac{1}{2}$r|PF₂|+$\frac{1}{2}$λr|F₁F₂|，
即为|PF₁|-|PF₂|=λ|F₁F₂|，
即有2a=2λc，
即λ=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{e}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率和定义的运用，同时考查三角形的面积公式的运用，运算求解能力，属于中档题．