Question

19．已知双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F₁（0，-c）（c＞0），离心率为e，过F₁平行于双曲线渐近线的直线与圆x²+y²=c²交于另一点P，且点P在抛物线x²=4cy上，则e²=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+2}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}+2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{3}$

Answer 1

分析 设双曲线的一条渐近线方程，设P（x，y），运用点P满足抛物线的方程和圆的方程，解得P的坐标（用c表示），
再由两直线平行的条件，即可得到a，b的关系，由离心率公式可得所求值．

解答 解：设P（x，y），
双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{a}{b}$x，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4cy①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y+c}{x}=\frac{a}{b}③}\end{array}\right.$
将①代入②得y²+4cy-c²=0，
则y=-2c±$\sqrt{5}$c，
即y=（$\sqrt{5}$-2）c，（负值舍去），
代入③，即x=$\frac{（\sqrt{5}-1）bc}{a}$，
再将x代入①得，$\frac{（6-2\sqrt{5}）{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$=4（$\sqrt{5}$-2）c²，
即为b²=c²-a²=$\frac{2（\sqrt{5}-2）}{3-\sqrt{5}}$a²，
即c²=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a²，
由e=$\frac{c}{a}$，
可得e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的性质，抛物线的方程的运用，运用双曲线的渐近线方程、以及直线平行的性质是解题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．