Question

10．已知双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=-$\frac{1}{3}$，则E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据△ABM是顶角θ满足cosθ=-$\frac{1}{3}$的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=$\frac{1}{3}$，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．

解答 解：不妨取点M在第一象限，如右图：
∵△ABM是顶角θ满足cosθ=-$\frac{1}{3}$的等腰三角形，
∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=$\frac{1}{3}$，
∴点M的坐标为（a+$\frac{2a}{3}$，2a•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），即（$\frac{5a}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}a}{3}$），
又∵点M在双曲线E上，
∴将M坐标代入坐标得$\frac{25}{9}$-$\frac{32{a}^{2}}{9{b}^{2}}$=1，
整理上式得，b²=2a²，
而c²=a²+b²=3a²，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
因此e=$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查了双曲线的简单几何性质：离心率，灵活运用三角函数的定义是解决本题的关键，属于中档题．