Question

7．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若$y=\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”．
（1）若f（x）=ax²+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）是“一阶比增函数”，求证：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），总有f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（3）若f（x）是“一阶比增函数”，且f（x）有零点，求证：关于x的不等式f（x）＞2015有解．

Answer 1

分析 （1）根据“一阶比增函数”的定义便可得出函数$\frac{a{x}^{2}+ax}{x}=ax+a$在（0，+∞）上为增函数，从而由一次函数的单调性便可得出实数a的取值范围；
（2）对任意x₁，x₂∈（0，+∞），有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，而函数$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上为增函数，从而可以得出$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＜\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}＜\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，这样即可得出f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（3）根据条件可知，存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，从而便可得出x＞x₀时，f（x）＞0，从而可取t∈（0，+∞），并满足f（t）＞0，可设f（t）=m，根据（2）便可得出f（2t）＞2m，f（4t）＞4m，f（8t）＞8m，从而便有f（2ⁿt）＞2ⁿm，n∈N^*，显然存在n∈N^*，使得2ⁿm＞2015，这样即得出关于x的不等式f（x）＞2015有解．

解答 解：（1）依题意可知：函数$y=\frac{f（x）}{x}=\frac{{a{x^2}+ax}}{x}=ax+a$在区间（0，+∞）上为增函数；
由一次函数性质可知一次项系数a＞0；
∴实数a的取值范围为（0，+∞）；
（2）证明：因为f（x）为“一阶比增函数”，即$y=\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上为增函数；
又对任意x₁，x₂∈（0，+∞），有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂；
故$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}＜\frac{{f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$，$\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}＜\frac{{f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$；
∴$f（{x_1}）＜\frac{{{x_1}f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$，$f（{x_2}）＜\frac{{{x_2}f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}$；
不等式左右两边分别相加得：$f（{x_1}）+f（{x_2}）＜\frac{{{x_1}f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}+\frac{{{x_2}f（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}+{x_2}}}=f（{{x_1}+{x_2}}）$；
因此，对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），总有f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（3）证明：设f（x₀）=0，其中x₀＞0；
因为f（x）是一阶比增函数，所以当x＞x₀时，$\frac{f（x）}{x}＞\frac{{f（{x_0}）}}{x_0}=0$，即f（x）＞0；
取t∈（0，+∞），满足f（t）＞0，记f（t）=m；
由（2）知f（2t）＞2f（t）=2m；
同理可得：f（4t）＞2f（2t）=4m，f（8t）＞2f（4t）＞8m；
∴一定存在n∈N*，使得f（2ⁿt）＞2ⁿm＞2015；
故不等式f（x）＞2015有解．

点评 考查对“一阶比增函数”定义的理解，一次函数的单调性，增函数的定义，以及不等式的性质，函数零点的定义，归纳思想的应用，清楚指数函数的值域．