Question

17．设数列{a_n}满足a₁=1，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1（n≥2），则数列{a_n}的通项公式${a_n}=\frac{2}{{n（{n+1}）}}$．

Answer 1

分析 由（n+1）a_n=（n-1）a_n-1化简可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，从而利用累乘法求解．

解答 解：∵（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，
$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{3}{5}$，
…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
累乘可得，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{4}$•$\frac{3}{5}$•…•$\frac{n-1}{n+1}$，
即a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，
故答案为：a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了累乘法的应用．