Question

5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=\sqrt{3}sint}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由极坐标方程和普通方程的关系可得直线的方程为$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，消去参数t可得椭圆的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）联立直线和椭圆方程可解的A（0，-$\sqrt{3}$），B（$\frac{8}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$），由两点间的距离公式可得．

解答 解：（1）由ρsin（$\frac{π}{3}$-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可得ρ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ-$\frac{1}{2}$ρsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{1}{2}$y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
变形可得直线直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0；
∵椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=\sqrt{3}sint}\end{array}\right.$，
∴cost=$\frac{x}{2}$，sint=$\frac{y}{\sqrt{3}}$，
由cos²t+sin²t=1可得（$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{y}{\sqrt{3}}$）²=1，
整理可得椭圆C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）联立直线和椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
消去y并整理可得5x²-8x=0，解得x₁=0，x₂=$\frac{8}{5}$，
∴A（0，-$\sqrt{3}$），B（$\frac{8}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）
∴线段AB的长为$\sqrt{（0-\frac{8}{5}）^{2}+（-\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$

点评 本题考查椭圆的参数方程和直线的极坐标方程，化为普通方程是解决问题的关键，属中档题．