Question

15．已知甲盒内有大小相同的1个红球、1个绿球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球、1个绿球和3个黑球，现从甲乙两个盒子内各任取2球．
（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（2）求取出的4个球中红球个数不超过2个的概率；
（3）设取出的4个球中红球的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 设4个球中红球个数为ξ，即ξ=1，可能来自甲盒，也可能来自乙盒，由此能求出取出的4个球中恰有1个红球的概率．
（Ⅱ）4个球中的红球个数ξ不超过2个，则ξ可以是0个，1个，2个，分别求出Pp（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出P（ξ≤2）．
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，…9′
由（Ⅰ）分别求出：p（ξ=0），p（ξ=1），p（ξ=2），p（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ） 设4个球中红球个数为ξ，即ξ=1，可能来自甲盒，也可能来自乙盒
∴p（ξ=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{7}{15}$．…4′
（Ⅱ）4个球中的红球个数ξ不超过2个，则ξ可以是0个，1个，2个
p（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
p（ξ=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{7}{15}$，
p（ξ=2）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$•$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴p（ξ≤2）=$\frac{1}{5}+\frac{7}{15}+\frac{3}{10}=\frac{29}{30}$．…8′
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，…9′
由（Ⅰ）（Ⅱ）知：p（ξ=0）=$\frac{1}{5}$，p（ξ=1）=$\frac{7}{15}$，p（ξ=2）=$\frac{3}{10}$，
而p（ξ=3）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{30}$，…10′
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{3}{10}$

∴Eξ=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{7}{15}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}$=$\frac{7}{6}$．…12′

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题之一．