Question

20．已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若函数h（x）=2f（x-1）与y=x³-mx的图象在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有2个不同的交点．则m的取值范围是（　　）

• A． [1，2]
• B． （1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• C． （1+$\frac{1}{e}$，3）
• D． （2，4+e]

Answer 1

分析 求出h（x），由2xlnx=x³-mx（x∈[$\frac{1}{e}$，e]），可得m=x²-2lnx，函数h（x）=2f（x-1）与y=x³-mx的图象在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有2个不同的交点，m=x²-2lnx在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有2个不同的零点，即可得出结论．

解答 解：由题意，h（x）=2f（x-1）=2xlnx．
由2xlnx=x³-mx（x∈[$\frac{1}{e}$，e]），可得m=x²-2lnx，
函数h（x）=2f（x-1）与y=x³-mx的图象在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有2个不同的交点，m=x²-2lnx在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有2个不同的零点．
令g（x）=x²-2lnx，则g′（x）=2x-$\frac{2}{x}$
令g'（x）=0，得x=±1
在区间[$\frac{1}{e}$，1]上，h（x）是减函数；[1，e]上，h（x）是增函数
∵g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，g（1）=1，g（e）=e²-2，
∴1＜m≤$\frac{1}{{e}^{2}}$+2．
故选：B．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．