Question

11．在极坐标系中，从四条曲线C₁：ρ=1、C₂：θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）、C₃：ρ=cosθ、C₄：ρsinθ=1中随机选取两条，记它们的交点个数为随机变量ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=1．

Answer 1

分析 把极坐标方程都化成普通直角坐标方程的形式，求出他们交点个数，从而ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望Eξ．

解答 解：曲线C₁：ρ=1，即x²+y²=1，
C₂：θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）即y=$\sqrt{3}x$，x≥0，
C₃：ρ=cosθ，即$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{4}$，
C₄：ρsinθ=1，即y=1，
∴曲线C₁和C₂的交点个数为1；曲线C₁和C₃的交点个数为1；曲线C₁和C₄的交点个数为1；
曲线C₂和C₃的交点个数为2；曲线C₂和C₄的交点个数为1；曲线C₃和C₄的交点个数为0．
∴ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=1）=$\frac{2}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{6}$．
∴Eξ=$0×\frac{1}{6}+1×\frac{2}{3}+2×\frac{1}{6}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、普通直角坐标方程的互化的合理运用．