Question

1．已知函数f（x）=sinx•cos（x-$\frac{π}{6}$）．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=$\frac{3}{4}$，b=4，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数的公式化简可得f（x）═$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，由周期公式可得周期，和最大值，
（2）f（C）=$\frac{3}{4}$，代入求得C=$\frac{π}{3}$，由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC，求得b，根据余弦定理求得c的值．

解答 解：（1）f（x）=sinx•cos（x-$\frac{π}{6}$）=sinx（cosxcos$\frac{π}{6}$+sinxsin$\frac{π}{6}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{4}$（-2sin²x+1）+$\frac{1}{4}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$，
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$，
∴求f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
最大值：$\frac{3}{4}$，
（2）若f（C）=$\frac{3}{4}$，b=4，
∴f（C）=$\frac{1}{2}$sin（2C-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$，
S=$\frac{1}{2}$absinC，
∴a=2，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴c=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角恒等变换、求正弦函数周期和最值及余弦定理，属于中档题．