Question

16．设命题p：实数x满足x²-（m+$\frac{1}{m}$）x+1＜0，其中m＞1．
命题q：实数x，满足x²-x-6≤0．
（Ⅰ）若m=5，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）对于命题p：实数x满足x²-（m+$\frac{1}{m}$）x+1＜0，其中m＞1，因式分解为：（x-m）$（x-\frac{1}{m}）$＜0，$\frac{1}{m}$＜m，m=5，即可解出．
对于命题q：由x²-x-6≤0，利用一元二次不等式的解法即可得出．由于p∧q为真，则p与q都为真命题，即可得出实数x的取值范围．
（II）利用p是q的充分不必要条件，即可得出．

解答 解：（I）对于命题p：实数x满足x²-（m+$\frac{1}{m}$）x+1＜0，其中m＞1，因式分解为：（x-m）$（x-\frac{1}{m}）$＜0，解得$\frac{1}{m}＜x＜$m．
m=5时，可得：$\frac{1}{5}$＜x＜5．
对于命题q：由x²-x-6≤0，解得-2≤x≤3．
∵p∧q为真，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{5}＜x＜5}\\{-2≤x≤3}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{5}$＜x≤3．
∴实数x的取值范围是$（\frac{1}{5}，3]$．
（II）∵p是q的充分不必要条件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{5}≤\frac{1}{m}}\\{m≤3}\end{array}\right.$，又m＞1，解得1＜m≤3．
∴m的取值范围是（1，3]．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．