Question

8．某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足$R（x）=\left\{\begin{array}{l}-6{x^2}+63x，0≤x≤5\\ 165，x＞5\end{array}\right.$假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：
（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；
（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？

Answer 1

分析 （1）根据利润=销售收入-总成本，且总成本为42+15x即可求得利润函数y=f（x）的解析式． 
（2）使分段函数y=f（x）中各段均大于0，再将两结果取并集． 
（3）分段函数y=f（x）中各段均求其值域求最大值，其中最大的一个即为所求．

解答 解：（1）由题意得G（x）=42+15x．
∴f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-6{x^2}+48x-42，0≤x≤5}\\{123-15x，x＞5}\end{array}}\right.$．
（2）①当0≤x≤5时，由-6x²+48x-42＞0得：x²-8x+7＜0，解得1＜x＜7．
所以：1＜x≤5．
②当x＞5时，由123-15x＞0解得x＜8.2．所以：5＜x＜8.2．
综上得当1＜x＜8.2时有y＞0．
所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利．
（3）当x＞5时，∵函数f（x）递减，
∴f（x）＜f（5）=48（万元）．
当0≤x≤5时，函数f（x）=-6（x-4）²+54，
当x=4时，f（x）有最大值为54（万元）．
所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元．

点评 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立分段函数模型，进行求解是解决本题的关键．