Question

3．设f（x）=2cos²x+4asinx+a-3．
（1）若x∈R时，f（x）的最大值为1，求a的值；
（2）若关于x的方程f（x）=0在区间[0，π]上有两个不同的实数解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）y=2cos²x+4asinx+a-3=2a²+a-1-2（sinx-a）²，分类讨论，当-1≤a≤1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1，当a＜-1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1-2 （-1-a）²=-3a-3； 当a＞1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1-2 （1-a）²=5a-3．代入求得a的值．
（2）令 sinx=t，由0≤x≤π，得0≤sinx≤1，由题意可得g（t）=2a²+a-1-2（t-a）²，的图象在[0，1）上与横轴．

解答 解：（1）y=2cos²x+4asinx+a-3
=2a²+a-1-2（sinx-a）²，
当-1≤a≤1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1，f（x）的最大值为1，
∴a=$\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$；
当a＜-1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1-2（-1-a）²=-3a-3，f（x）的最大值为1，
∴a=$-\frac{4}{3}$，
当a＞1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1-2（1-a）²=5a-3，f（x）的最大值为1，
a=$\frac{4}{5}$（舍去）；
（2）若f（x）=0在[0，π]上有2个解，令 sinx=t，
∵0≤x≤π，
∴0≤sinx≤1，
∴0≤t≤1．
由于当t在[0，1）上任意取一个值，x在[0，π）]上都有2个值与之对应，
当t=1时，只有一个x=$\frac{π}{2}$与之对应．
故由题意f（x）=0在[0，π]有2个解，
可得关于t的函数 g（t）=2a²+a-1-2（t-a）² =-2t²+4at+a-1，
∴g（x）的图象在[0，1）上，与横轴只能有一个交点，
即关于t的方程 g（t）=0在[0，1）上有唯一解．
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=16{a}^{2}+8a-8=0}\\{0≤a＜1}\\{g（0）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}或a=-1}\\{0＜a＜1}\\{a-1≤0}\\{5a-3＜0}\end{array}\right.$，
即a=$\frac{1}{2}$，
故a的取值范围是{$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，二次函数的最值问题，令 sinx=t，判断g（t）=2a²+a-1-2（t-a）²，在[0，1]上，与横轴有两个交点，是解题的关键，属于中档题．