Question

13．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，数列{b_n}是等比数列，且b₂=a₂，b₃=a₅，b₄=a₁₄．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意正整数n，均有$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₄的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₂，a₅，a₁₄成等比数列计算可知d=2，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（I）计算可知c₁=3，利用$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$与$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=a_n作差，进而计算可得数列{c_n}的通项公式，进而计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得：d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
又∵b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴q=3，b₁=1，
∴b_n=3^n-1；
（Ⅱ）∵$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，
∴$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$=a₂，即c₁=b₁a₂=3，
又∵$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，
当n≥2时，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=a_n，
∴$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n+1-a_n=2，c_n=2b_n=2•3^n-1（n≥2），
∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{2•{3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₄=3+2•3¹+2•3²+…+2•3²⁰¹³
=3+2（3¹+3²+…+3²⁰¹³）
=3+2•$\frac{3（1-{3}^{2013}）}{1-3}$
=3²⁰¹⁴．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．