Question

18．从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望Eξ=$\frac{2\sqrt{3}+6}{5}$．

Answer 1

分析 所有棱长均为2的正四棱锥S-ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，推导出ξ的可能取值为$\sqrt{3}，2$，分别求出相应的概率，由此能求出其数学期望Eξ．

解答 解：如图所有棱长均为2的正四棱锥S-ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，
SO⊥底面ABCD，SO=AO=$\sqrt{2}$，
S_△SAB=S_△SBC=S_△SCD=S_△SAD=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
S_△ABD=S_△BCD=S_△ADC=S_△ABD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
S_△SBD=S_△SAC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，
∴ξ的可能取值为$\sqrt{3}，2$，
P（ξ=$\sqrt{3}$）=$\frac{4}{10}$，
P（ξ=2）=$\frac{6}{10}$，
Eξ=$\frac{4}{10}×\sqrt{3}+\frac{6}{10}×2$=$\frac{2\sqrt{3}+6}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}+6}{5}$．

点评 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，巧妙地把立体几何和概率有机地结合在一起，是一道难得的好题．