Question

10．某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．
（1）恰有2人选修物理的概率；
（2）选修科目个数ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数，再求出恰有2人选修物理包含的基本事件个数，由此能求出恰有2人选修物理的概率．
（2）由题意得ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的，
∴基本事件总数n=3⁴，
恰有2人选修物理包含的基本事件个数m=${C}_{4}^{2}•{2}^{2}$，
∴恰有2人选修物理的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{{C}_{4}^{2}•{2}^{2}}{{3}^{4}}$=$\frac{8}{27}$．
（2）由题意得ξ的所有可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{3}{{3}^{4}}$=$\frac{1}{27}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}（{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}）}{{3}^{4}}$=$\frac{14}{27}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{3}^{4}}$=$\frac{4}{9}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{14}{27}$	$\frac{4}{9}$

Eξ=$1×\frac{1}{27}+2×\frac{14}{27}+3×\frac{4}{9}$=$\frac{65}{27}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．